چگونه ریاضیات را آموختیم؟

ریاضیات از جمله بحث برانگیزترین دانش های بشری است. در حالی که برخی ریاضیات را مادر علوم می دانند، برخی دیگر خود ریاضیات را علم به حساب نمی آورند. در حالی که بسیاری بر این باور هستند ریاضیات درک ما را از علوم و در نهایت طبیعت گسترش داده است، از برتراند راسل (ریاضیدان و فیلسوف) نقل می کنند که گفته است: «ریاضیات را می توان رشته ای تعریف کرد که در آن نه معلوم است از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه می گوییم، صحت دارد. ما در ریاضیات مطالب را نمی فهمیم بلکه تنها به آن عادت می کنیم.»

ریاضیات کارآمدترین ابزار ما برای شناخت جهان است اما اینکه از کجا آمده و چگونه پیشرفت کرده، همچنان رازآمیز است. اندی آنانتیسوامی در گزارشی که در شماره سپتامبر 2017 نیوساینتیست (New Scientist) منتشر کرد، به بررسی نقش، اهمیت و سیر تکامل ریاضیات در انسان پرداخت. در ادامه شما می توانید ترجمه این گزارش را مطالعه نمایید.

جهان طبیعت، جایی پیچیده و پیش بینی ناپذیر است. زیستگاه ها تغییر می کنند، شکارگران تاخت و تاز می کنند و غذا به پایان می رسد. زنده ماندن جاندار به توانایی اش در شناخت محیط پیرامونش بستگی دارد، مانند شمارش شب ها یا کشف سریع ترین راه برای گریختن از خطر یا ارزیابی مکان هایی که بیشترین احتمال وجود غذا در آنجا می رود. به گفته کارل فریستون، عصب شناس محاسباتی و فیزیکدان کالج دانشگاهی لندن، همین به معنای انجام ریاضیات است.

فریستون می گوید: «در ریاضیات، سادگی، ایجاز و تقارنی وجود دارد که اگر آن را به عنوان یک زبان در نظر بگیرید، بر همه روش های توصیف جهان برنده می شوید.» به نظر می رسد همه جانداران، از دلفین ها تا کپک های لزج در سراسر درخت تکاملی، جهان را با ریاضیات می فهمند و الگوها و نظم های آن را در راستای زنده ماندن رمز گشایی می کنند.

فریستون چنین استدلال می کند که هر سامانه خود سازمان دهنده (و هر شکلی از زندگی)‍ که با محیطش بر هم کنش دارد، به مدلی مجازی یا انگاره ای از آن محیط نیاز دارد تا بتواند کنش داشته باشد. این اندیشه به دهه 1970 و نظریه «تنظیم کننده خوب» باز می گردد که او با همکاری راس آشبی از پیشگامان سایبرنیتیک، پیشنهاد کرده است. این نظریه می گوید که مغز روبات برای تنظیم کارآمد باید مدلی درونی از بدن مکانیکی اش و محیط پیرامونش داشته باشد. فریستون می گوید: «این بینش اکنون در یادگیری دستگاه ها و هوش مصنوعی بسیار پذیرفته شده است.» می توان نتیجه گیری کرد که مغز جانور نیز باید انگاره ای از بدنش و جهانی که در آن حرکت می کند، داشته باشد.

به اندیشیدن نیاز نیست.

نکته جالب این است که هیچ یک از این مدل سازان به کاری که می کنند، آگاه نیستند. حتی ما انسان ها هنگامی که برای گرفتن توپ می دویم یا از ترافیکی سنگین، راه گریزی پیدا می کنیم، ناخودآگاه مقداری محاسبات ریاضیاتی بسیار پیچیده انجام می دهیم. این نظریه می گوید مغز ما همواره مدل هایش را برای پیش بینی آنچه با آن روبرو می شویم، بکار می گیرد و این مدل با بررسی پیش بینی ها در برابر موقعیت های واقعی، بروز نگه داشته می شوند.

به گفته اندی کلارک، فیلسوف شناختی در دانشگاه ادینبورگ انگلستان، این توابع ریاضیاتی بی گمان با بیت های خاص مغز محاسبه می شوند اما این بدان معنا نیست که ماژول های ویژه ای مشابه دکمه های ماشین حساب در مغز وجود دارد که ما می توانیم در هنگام نیاز به یاد آوریم: یکی برای انجام ضرب و دیگری برای انجام کوسینوس.

اگرچه این مدل ها می کوشند که زنده ماندن ما را در جهان پیچیده ای که از قانون های فیزیک پیروی می کند، تضمین کنند، پافشاری آنها بر حفظ زندگی ما به معنی آن است که آنها گاهی باید با درستی (صحیح بودن) مدارا کنند. مدل های مغز ما از جهان پیرامون ما ساخته شده است و شاید برای اینکه به نیاکان ما بگوید از یک منطقه نامناسب از نظر غذا مهاجرت کنند، ما را از دیدن این مشاهده آماری ساده باز می دارد.

به عنوان مثالی دیگر، قانون وبرفچر را در نظر بگیرید که بر پاسخ ما به محرک های بیرونی حکمفرما است. این قانون می گوید که توانایی تمییز میان دریافت های حسی با مقدار مشابه، با افزایش مقدار، کاهش می یابد. از این رو، در حالی که وزنه 1 کیلوگرمی را به آسانی از وزنه 2 کیلوگرمی تشخیص می دهیم، تشخیص وزنه 21 کیلوگرمی از 22 کیلوگرمی دشوارتر می شود. همین وضعیت درباره روشنی نور، حجم صدا و حتی تعداد اجسامی که می بینیم، وجود دارد.

با اینکه همان کج راهی هایی که در مغز جانوران دیگر هست، در مغز انسان نیز وجود دارد اما انسان توانایی پیدا کرده است که می تواند برخی از این اشتباه ها را شناسایی کند و بر آنها چیره شود. چشمگیرتر از همه این موارد آن است که بشر عدد را اختراع کرده است. عدد، سامانه ای از نشانه ها است که به ما امکان می دهد بلافاصله نتیجه بگیریم که 21 و 22 به همان اندازه­ ی 1 و 2 با هم اختلاف دارند. آفریدن این زبان نمادین پیچیده برای ریاضیات، نه تنها به ما امکان داد که بر برخی محدودیت های ذهن ناخودآگاه خود چیره شویم، بلکه مفاهیم انتزاعی را به صورت عمیق بررسی کنیم و با دیگران در میان بگذاریم. اما چگونه ما این ابزارها را پدید آوردیم تا آگاهانه آنچه را که بدنمان بطور غریزی انجام می دهد، بفهمیم؟

یک اندیشه قدیمی می گوید که ما با حسی آگاهانه نسبت به عددها به دنیا می آییم، به همان گونه ای که نسبت به رنگ ها آگاهی داریم. استانیسلاس دیهان از واحد تصویربرداری عصبی شناختی در ژیف سور ایوت در فرانسه، در کتاب «حس عدد» فرضیه ای را پیش کشید که پدیده تکامل به انسان ها و دیگر جانوران «چند شناسی» بخشیده است، یعنی توانایی ادراک بی درنگ تعداد چیزها در یک توده یا دسته. به سخن دیگر، سه تیله­ سرخ حس عدد 3 را درست به همان صورتی که حس رنگ سرخ در ما پدید می آید، تولید می کند. دیهان پیشنهاد کرد که این چند شناسی برای عددهای پایین تر از 4 دقیق بود و برای عددهای پس از آن مبهم می شد اما با وجود این، بیانگر توانایی ریشه داری بود. با مجهز بودن به چنین غریزه ای مسیرهای ما در جنگل ریاضیات به آسانی نمایان می شد.

شمارشگری ذاتی

به زودی شواهدی برای پشتیبانی از این نگاه «فطرت گرایانه» فراهم شد. الیزابت اسپلکه در بنیاد فناوری ماساچوست و همکارانش نشان دادند که بچه شش ماهه می تواند چینشی از 8 نقطه را از چینشی از 16 نقطه بازشناسد. دیهان و همکارانش سپس گزارش کردند که بومیان ماندوروکو در بخش های برزیلی آمازون (که واژه هایی برای عددهای بزرگتر از 5 ندارند)، می توانند بطور تقریبی میان مقدارهای بزرگتر تمییز دهند که نشان می دهد این توانایی مستقل از فرهنگ است.

بررسی های دیگر نمایان ساخت که انسان ها بطور ذاتی عددها را از نظر فضایی روی «خط عدد» فرضی نشان می دهند، چنانکه مقدار آنها از چپ به راست افزایش می یابد. حتی شواهدی از چند شناسی در جانوران وجود دارد. همه اینها به فهم ذاتی عدد اشاره دارد که هزاران سال فرهنگ به گسترش و پیشرفت آن کمک کرده است.

اما به زودی برخی از پژوهشگران، ناخشنودی خود را از نتیجه گیری های این بررسی ها اعلام کردند. برای مثال، آیا ممکن است اشخاص دو چینش از نقطه ها را نه بر پایه تعداد نقطه ها، بلکه بر پایه مشخصه های دیگر مانند پراکنش فضایی یا مساحتی که پوشش می دهند، تمییز بدهند؟ تالی لیبوویچ از دانشگاه حیفا می گوید: «اینها سرنخ هایی هستند که بطور معمول با عددها مرتبط هستند و بنابراین بکارگیری آنها نابخردانه است.» به نظر او: «جانوری که باید چیزی را به سرعت شکار کند، باید از همه سرنخ های موجود بهره برداری کند.»

در واقع با بررسی های بیشتر به نظر می رسد که انسان ها نیز بر این سرنخ های عددی تکیه دارند. به زودی فرضیه دیگر مطرح شد. شاید به جای اینکه حس ذاتی نسبت به عدد داشته باشیم، با حسی از مقدارها، مانند اندازه و چگالی که به تعداد چیزها مرتبط هستند، به دنیا می آییم.

آزمایش های شناختی پالایش شده ای در بچه ها، از این نگاه پشتیبانی می کند. برای مثال، بچه های کوچکتر از 4 سال نمی توانند بفهمند که چیزی در پنج پرتقال و پنج هندوانه مشترک است: عدد 5. برای آنها، یک گروه هندوانه فقط چیزی بیشتر از همان تعداد پرتقال است.

دانیال انصاری از دانشگاه اونتاریوی غربی کانادا می گوید که حتی آموزش شناسایی ترتیب عددها به بچه ها، با وانمود کردن به شمارش، بی درنگ معنای آنها را نمی رساند. این به صورت غیر رسمی از راه ارتباط بلندمدت رخ می دهد. انصاری می گوید: «این به اثرگذاری قوی تجربه های فرهنگی روی یادگیری بازنمودهای دقیق عدد اشاره دارد.»

انصاری می گوید بررسی جنبه ها فرهنگی شناخت عددی دچار سوگیری شده است، چرا که به داده های گردآوری شده از فرهنگ های غیر صنعتی، توجه کافی نشده است. به نظر او این یافته ها شک های جدی به فرضیه فطرت گرایانه وارد کرده است.

قوم یوپنو در پاپوآ گینه نو را در نظر بگیرید. رافائل نونیز از دانشگاه کالیفرنیا در سان دیگو دریافته است که به نظر می رسد آنها خط عددی ذهنی جهانی را بکار نمی برند. همچنین، آنها در زبان شان صفت های تفضیلی ندارند تا بگویند چیزی از چیز دیگر بزرگتر یا کوچکتر است.

نمی خواهیم بگوییم که زبان یوپنو ابتدایی است، بلکه برعکس. ضمیرهای اشاره را در زبان انگلیسی در نظر بگیرید. در زبان انگلیسی فقط چهار ضمیر اشاره وجود دارد: these – that – this – those. اینها برای مشخص کردن نزدیکی و دوری چیزها بکار می روند. اما در زبان یوپنو واژه هایی وجود دارد تا مشخص کنند چیزی در ارتفاع بالاتر یا پایین تر نسبت به آنها قرار دارد (در نظر داشته باشید که آنها در منطقه ای کوهستانی زندگی می کنند) و آنها واژه هایی با تفاوت ها ظریف دارند تا نه فقط دوری و نزدیکی چیزی را مشخص کنند بلکه مقدار دوری و نزدیکی آن را نیز بیان کنند.

یوپنوها تنها قومی نیستند که زبان آنها به عددها اهمیت نمی دهد. نونیز می گوید که بررسی 189 زبان بومیان استرالیا نشان می دهد که سه چهارم آنها واژه هایی برای عددهای بالاتر از 3 یا 4 ندارند و 21 زبان از عدد 5 پیشتر نرفته اند. به نظر نونیز، از این بررسی می توان نتیجه گرفت که چند شناسی دقیق، یک صفت فرهنگی است که پس از پیدایش وضعیت هایی مانند کشاورزی و داد و ستد بروز پیدا کرد، چرا که به آن نیاز بود.

حتی زبان هایی مانند انگلیسی و فرانسه که چنین توانایی را دارند، می توانند شما را به همین نتیجه گیری برسانند. سال گذشته، دیهان و دانشجویش ماری آمالریک نتایج پویش مغزی 15 ریاضیدان متخصص و 15 غیر ریاضیدان با همان درجه دانشگاهی را منتشر کردند. آنها شبکه ای از منطقه های مغزی را یافتند که در اندیشیدن ریاضیاتی نقش دارد و هنگامی که ریاضیدان ها به مسئله های جبر، هندسه و توپولوژی می اندیشند، فعال می شوند و هنگامی که به چیزهای غیر ریاضیاتی می اندیشند، فعال نمی شوند. این تمایز در استادان رشته های دیگر دیده نشد. یافته مهم دیگر این بود که این «شبکه های ریاضی» با منطقه هایی از مغز که به زبان مربوط می شوند، هم پوشانی ندارند.

از این یافته می توان نتیجه گرفت که زمانی که ریاضیدان ها زبان نمادین خود را آموختند، اندیشیدن به شیوه هایی را آغاز کردند که به زبان آموزی عادی ارتباط نداشت.

بخشی از این زبان ریاضیاتی پیچیده بی گمان از حس درونی ما به عددها یا مقدارها سرچشمه می گیرد، هر چند در هنگام تولد بسیار نادقیق است. اما با گذشت زمان توانایی های بسیار دیگری را بدست می آورد: زبانی برای در میان گذاشتن اندیشه ها، حافظه ای کارآمد برای نگهداری مفاهیم بهره برداری شده و حتی نظارت شناختی برای چیرگی بر انواعی از سوگیری ها که در مغالطه­ قمارباز دیده می شود.

زمان دقیقی که فرهنگ ها چیزهایی را که احتمالاً به صورت ذاتی در ما وجود داشت، به توانایی ریاضیاتی آشکار تبدیل کرد، نامشخص است. یکی از کهن ترین تکه های شواهدی از روبرو شدن انسان با عدد از غار بوردر در کوه های لبومبو در آفریقای جنوبی بدست آمده است. در آنجا باستان شناسان استخوان هایی با قدمت 44 هزار سال با خط هایی روی آنها پیدا کردند. یکی از آنها استخوان نازک نی بابون است که 29 خط روی آن کنده شده است. انسان شناسان می گویند که این چوب خط ها کمکی برای شمارش بودند و نشانگر بروز فهم نمادین مرتبط با نمایش آگاهانه عددها و کار با عدد است.

شمارش و اندازه گیری در حدود هزاره چهارم پیش از میلاد در فرهنگ پیشرفته میان رودان در دره دجله – فرات، به اوج های تازه ای رسید. النور رابینسون از دانشگاه آکسفورد می گوید ریاضیات در میان رودان یک نوآوری فرهنگی بود که برای نگه داشت روزها، ماه ها و سال ها، اندازه گیری مساحت زمین ها و مقدار غله و شاید حتی ثبت اوزان، ضروری بود. هنگامی که انسان ها به دریانوردی روی آوردند یا آسمان را بررسی کردند، ریاضیات لازم برای ناوبری (جهت یابی) و ثبت حرکت اجسام آسمانی ضروری شد. اما همیشه در آغاز فرآورده نیاز فرهنگی بوده است. با کمک ابزارهای ریاضیات بنیادی، انسان ها هرم بزرگی از دانش ریاضیات ساخته اند. با گذشت 5000 سال یا بیشتر، ریاضیات به قلمروهای انتزاعی تر گسترش یافته است و آشکارا از فرآیندهای حاکم بر جهان پیرامون ما جدا شد. با این همه، هرچه بیشتر درباره کارکردهای پنهان هستی می آموزیم، به نظر می رسد که این نوآوری ریاضیاتی؛ چیزهایی را که می بینیم توصیف می کند. برای مثال، هنگامی که دیوید هیلبرت جبر بسیار انتزاعی را پدید آورد که به جای سه بعد فضایی شناخته شده بر تعداد نامحدودی از ابعاد وفق پیدا می کرد، کسی نمی توانست پیش بینی کند که در زمینه نوظهور کوآنتوم کاربرد خواهد داشت. اما اندکی بعد، روشن شد که وضعیت سامانه کوآنتومی را می توان با فضای هیلبرتی به بهترین شیوه­ ممکن توصیف کرد و این ریاضیات بنیادی، کلیدی شد برای کوشش های ما برای معنابخشی به جهان کوآنتوم.

فراگیر بودن چنین ارتباطی میان ریاضیات و فیزیک سبب شد دوجین ویگنر فیزیکدان در توصیف جهان طبیعت از «کارآمدی بی بدیل ریاضیات» بگوید. امروزه برای بسیاری از فیزیکدان ها، موفقیت ریاضیات به عنوان یک زبان از برتری آن در سازماندهی جهان هستی سخن می گوید. مکس تگمارگ از بنیاد فناوری ماساچوست یک از آنها است. به نظر او جهان هستی یک ساختار ریاضیاتی است و فقط ویژگی ها ریاضیاتی دارد و ما به آرامی از این ساختار پرده بر می داریم، غبارها را کنار می زنیم تا قضیه ها و برهان هایی که در پس واقعیت هستند، آشکار شوند، او می گوید: «در گذشته برشمردن تعداد اندکی از چیزهایی در طبیعت که با ریاضیات می توانید توصیف کنید، بسیار آسان بوده است. اکنون بسیار آسان است که تعداد اندکی از چیزهایی را برشماریم که نمی توانیم با ریاضیات توصیف کنیم.» حتی زیست شناسی، به آرامی سر فرود می آورد: شاهدش گسترش ریاضیات در ژنومیک یا عصب شناسی محاسباتی است.

از این چشم انداز، ریاضیات یک کشف است تا اختراع. اما برای پژوهشگرانی مانند نونیز این یک رجحان بسیار ساده است. او می گوید: «هنگامی که می پرسند ریاضیات اختراع شد یا کشف شد، یک پندار و فرض وجود دارد که انحصار گرایانه است. اگر شما آن را اختراع کردید، آن را کشف نمی کنید و اگر کشف کردید، آن را اختراع نمی کنید.» اما او می گوید این یک وضعیت «این یا آن» نیست.

کتاب «اصول» را که اقلیدس، ریاضیدان یونانی نوشت، در نظر بگیرید. این کتاب همه دانش ریاضیاتی آن دوران و قانون های مدون هندسه را یکپارچه ساخت. اقلیدس کارش را بر پایه مجموعه ای از اصول بدیهی یا آکسیوم ها قرار داد که یکی از شناخته شده ترین آنها این است که دو خط موازی هرگز به هم نمی رسند. با گذشت زمان، ریاضیدان های دیگر، الگوها، نظم ها و رابطه هایی را که از این آکسیوم های «اختراعی» بیرون می آمد، بررسی و این قضیه ها را اثبات کردند. از این نظر، آنها چشم انداز هندسه اقلیدسی را کشف کردند. اما پس از گذشت هزاران سال، ریاضیدان های دیگری تصمیم گرفتند که با آکسیوم هایی متناقض با آکسیوم های اقلیدس آغاز کنند. برای مثال، هندسه­ ریمان که نامش را از برنارد ریمان، ریاضیدان آلمانی گرفته است، بر این اندیشه استوار است که دو خط موازی در واقع به هم می رسند. این نقطه آغاز نامتعارف به کشف رگه تازه ای از ریاضیات انجامید که اینشتین برای تنظیم نظریه نسبیت عام و توصیف خمیدگی فضا – زمان بکار گرفت. کلارک می گوید: «جهان بیرونی، انواعی از الگوها، نظم ها و شیوه های رفتار را دارد و هر موجودی که می خواهد ریاضیات بسازد باید آن را بر بالای نظم هایی بسازد که با آن روبرو می شود، حکمفرما است.»

اما جدا از آکسیومی که با آن آغاز می کنیم، ریاضیات ممکن است سامانه کاملی از اندیشه نباشند، چنان که ما دوست داریم باور کنیم. ما به بینش منطقدان اتریشی کورت گودل با عنوان قضیه های ناتمامیت گودل (Godel’s incompleteness theorems) مدیون هستیم. گودل نشان داد که در هر دستگاه صوری از آکسیوم ها و قضیه ها، می توان گزاره ای داشت که نه بتوان آن را اثبات کرد و نه آن را رد کرد. به سخن دیگر، برخی پرسش ها وجود دارد که ریاضیات می تواند بپرسد، اما هرگز ابزارهایی برای پاسخ آنها ندارد.

در هر صورت شاید هنوز برای ما زود باشد که اظهارنظرهای فراگیری درباره ریاضیات داشته باشیم که حقیقتی جهانی شمرده شود. با این همه، چه کسی می گوید که گوشه کوچکی از این جنگل، به هر صورت نماینده همه آن است؟ اما فیزیکدان هایی مانند تگمارک امیدوارند که چنین باشد. برای او بزرگترین مانع برای نظریه ریاضیاتی «همه چیز»، توصیف هوشیاری و آگاهی، یعنی ظرف توانایی عددی ما است. آیا ریاضیات می تواند خاستگاه خودش را توضیح دهد؟ او می گوید: «این آخرین آزمایش فرضیه ای خواهد بود که می گوید همه چیز ریاضیات است.»

منابع

مقاله علمی و آموزشی «چگونه ریاضیات را آموختیم؟»، نتیجه ی تحقیق و پژوهش، گردآوری، ترجمه و نگارش هیئت تحریریه پورتال یو سی (شما می توانید) می باشد. در این راستا مقاله نیوساینتیست ترجمه شده توسط حسن سالاری در مجله دانشمند، به عنوان منبع اصلی مورد استفاده قرار گرفته است.