پارادوکس باناخ – تارسکی چیست؟

استفان باناخ و آلفرد تارسکی دو ریاضیدان لهستانی بودند که در سال 1926 یکی از عجیب ترین قضایای طول تاریخ ریاضیات را رقم زدند.

بر طبق این قضیه می توان کره ای با شعاع یک واحد در فضای اقلیدوسی سه بعدی را به 5 زیرمجموعه مجزا تقسیم کرد و تنها با جابجایی و چرخش بخش ها (بدون هر گونه کشیدن، فشردن و…) این تکه ها را دوباره کنار هم گذاشت، بطوریکه در انتها دو کره با شعاع یک واحد (مشابه کره اولیه با همان وزن، حجم و اندازه) داشته باشیم.

قطعاً باور کردن 1+1=1 و یا بدست آوردن یک کره از هیچ، سخت و ناممکن است. به دلیل همین غیرشهودی بودن است که عموماً به جای قضیه آن را پارادوکس می خوانند. پارادوکس یا معادل فارسی آن غلط نما که همانطور از نامش مشخص است فقط ظاهری غلط دارد ولی در حقیقت درست است.

اصول موضوعه ای که این قضیه بر پایه آنها اثبات شده، اصل انتخاب، تئوری مجموعه ها و قواعد بی نهایت می باشد که همگی مفاهیمی بدیهی و اولیه در ریاضی هستند که بعد از ارائه این پارادوکس، ریاضیدانان زیادی به فکر فرو رفتند و گفتگو و بحث زیادی پیرامون آن شکل گرفت. عده ای معتقد بودند از آنجا که این قضیه با عقل سلیم جور در نمی آید و از طرفی مراحل اثبات کاملاً درست و تنها بر پایه مفاهیم اولیه است، ممکن است این اصول موضوعه بنیادین اشتباه وضع شده باشند.

حواشی درباره این قضیه بالا گرفت و قوانین اولیه ریاضی مورد بازنگری قرار گرفتند. ولی هم قوانین اولیه و هم اثبات قضیه بسیار مستدل و محکم بودند. بنابراین، تغییری در هیچ یک ایجاد نشد. برای درک صحیح این قضیه به این نکته توجه کنید که «کره مفروض قضیه، کره ای ریاضی، سه بعدی، با بی نهایت نقطه می باشد.»

مورد دیگری که در پارادوکس باناخ – تارسکی شایان توجه است این است که این موضوع به صورت یک مفهوم مجرد ریاضی قابل اثبات و برقرار است، ولی این کره سه بعدی و افرازهای آن ما به ازایی به حالت یک جسم فیزیکی ندارد. زیرا به دلیل محدودیت عالم ماده و نامتناهی بودن مولکول های تشکیل دهنده آن جسم، امکان برقراری این رابطه نخواهد بود. همانطور که گفته شد بحث نامتناهی بودن و یا بی نهایت، اساس کار این قضیه است.

یکی از دلایل مخالفت و هم آلود خواندن این قضیه همین ما به ازایی خارجی نداشتن آن بود. که البته دلیل قانع کننده ای نیست زیرا در گذشته نیز قضایای بسیاری در ریاضی بودند که ثابت می شدند، بدون اینکه کاربرد آنها مشخص باشد و سال ها بعد با پیشرفت علوم مختلف و رویارویی با معضلات جدید، ریاضیدانان مورد استفاده آنها را یافته و عیان می کردند.

آیا این قضیه می تواند در دنیای واقعی اتفاق بیفتد؟ یا این قضیه جایی است که ریاضی راه خود را از علوم فیزیکی و طبیعی جدا می کند؟ هنوز نمی دانیم.

ریاضیدانان، دانشمندان و فلاسفه همچنان در حال بحث پیرامون این موضوع هستند.

البته تاریخ ریاضی پُر است از نمونه هایی این چنینی که به صورت مجرد بیان شدند و تا سال ها، دهه ها، بلکه قرن ها کاربردی برای آنها متصور نبود. هر چند در چند سال اخیر مقالاتی در فیزیک ذرات منتشر شده اند که ارتباطی بین قضیه باناخ – تارسکی و ذرات بسیار ریزی به نام هدرون (Hedron) برقرار کرده اند. این ذرات بسیار ریز را در انرژی بالا می توان به گونه ای در کنار یکدیگر قرار داد که دو برابر مقدار اولیه خود شوند.

فیزیکدانان و ریاضیدانان در مسائل مربوط به نور و گرما که دارای ذراتی بسیار ریز و به لحاظ تعداد تقریباً بی نهایت هستند نیز به یاری یکدیگر شتافته و از این پارادوکس بهره برده اند.

منابع

مقاله علمی و آموزشی «پارادوکس باناخ – تارسکی چیست؟»، نتیجه ی تحقیق و پژوهش، گردآوری و نگارش هیئت تحریریه علمی پورتال یو سی (شما می توانید) می باشد. در این راستا مقاله مائده شهابی در مجله دانشمند، به عنوان منبع اصلی مورد استفاده قرار گرفته است.