منظور از بی نهایت چیست؟

ممکن است در تصور شما بی نهایت یک عدد خیلی بزرگ باشد، در حالی که بی نهایت بزرگترین عدد یا یک عدد خیلی بزرگ نیست بلکه تعداد بسیار زیادی عدد است. در واقع هرگاه به تعداد نامتناهی عدد، نقطه، ذره و… داشته باشیم تعریف و قوانین بی نهایت به میان می آیند. مجموعه هایی که بی نهایت عضو دارند (یا اصطلاحاً نامتناهی اند) به دو دسته تقسیم می شوند:

• مجموعه نامتناهی شمارا: یعنی اعضای مجموعه قابل شمردن می باشند مانند مجموعه اعداد طبیعی (1 – 2 – 3 و…)

• مجموعه نامتناهی ناشمارا: مجموعه تمام اعداد حقیقی مابین 0 و 1 را در نظر بگیرید، آیا می توانید شروع به شمارش این اعداد کنید؟ شمارش را شروع می کنیم ولی شما با عدد 0.00000000000000000001 مایل به شروع شمارش هستید و البته دیگری چند صفر دیگر نیز ممکن است اضافه کند و کار شمارش را آغاز کند. بدین ترتیب نمی توان عددی برای شروع شمارش مورد توافق قرار داد. چنین مجموعه های نامتناهی را ناشمارا می گویند.

هتل بی نهایت

دیوید هیلبرت صد و بیست سال پیش با الهام از ریاضیدان بزرگ کانتور، مسئله ای را به نام هتل بی نهایت هیلبرت مطرح کرد که در ابتدا مورد پذیرش قرار نگرفت و حتی کفر تلقی شد اما امروزه اهمیت مفهوم بی نهایت بیش از پیش روشن است.

در این مسئله، هیلبرت یک هتل خیالی با بی نهایت اتاق معرفی می کند که بی نهایت مسافر در آن ساکن هستند. یک شب مسافری به هتل مراجعه کرده و درخواست اتاق می کند. هیلبرت در نقش مدیر این هتل فرضی این مسئله را حل کرده و مسافر اتاق شماره 1 را به اتاق شماره 2، و مسافر سابق اتاق شماره 2 را به اتاق شماره 3 و به همین ترتیب مسافر اتاق شماره n را به اتاق شماره n+1 می فرستد. با این جابجایی اتاق شماره 1 خالی شده و مسافر جدید می تواند در آن اقامت کند ضمن اینکه بقیه مسافران نیز دارای اتاق خواهند بود.

هیلبرت می گوید اگر به جای یک مسافر 10 نفر یا 100 نفر مراجعه کنند باز هم مشکلی برای این هتل بی نهایت نیست و کافی است مسافر اتاق nام به اتاق n+10 برود؛ و یا در مراجعه 100 مسافر، مسافر اتاق 100ام به اتاق n+100 فرستاده شود تا 100 اتاق اول برای مسافران جدید خالی شوند.

یک شب مسئله دیگری برای این هتل روی می دهد. یک اتوبوس با بی نهایت مسافر وارد هتل می شوند. هیلبرت به کمک توانایی ریاضی و تصور نامحدودش این مسئله را حل می کند. او مسافر اتاق شماره 1 را به اتاق شماره 2، مسافر اتاق شماره 2 را به اتاق شماره 4، مسافر اتاق شماره 3 را به اتاق شماره 6 و به همین ترتیب مسافر اتاق nام را به اتاق شماره 2n می فرستد. بنابراین اتاق های با شماره زوج از مسافران قدیمی هتل پُر می شود و اتاق های با شماره فرد خالی می مانند که مسافران جدید می توانند در آن اقامت کنند.

با این مسئله نمایشی، هیلبرت نشان داد که در حالت بی نهایت چگونه همانطور که اعداد طبیعی نامتناهی اند، اعداد زوج و فرد که زیرمجموعه هایی از آن هستند نیز می توانند به همان اندازه نامتناهی باشند. یعنی بی نهایت تقسیم بر 2 باز هم بی نهایت است.

در مرحله آخر هیلبرت نشان می دهد که چگونه بی نهایت اتوبوس با بی نهایت مسافر را نیز می تواند در هتل فرضی خود سکونت دهد. این معماهای به ظاهر خیالی و ساده مفاهیم و اثبات هایی عمیق و بنیادین در ریاضیات هستند.

حدود صد سال است که به مفهوم بی نهایت پرداخته شده که در عین ظاهری ساده، قطعاً در آینده سهم عظیمی از تئوری ها، کاربردها و حتی علوم روزمره خواهند داشت چرا که مدتی است دریافته ایم جهان ما، جهانی نامتناهی است. قبلاً اشتباه هایی را مرتکب شده ایم مانند اینکه «خورشید مرکز جهان است» یا «کره زمین تنها کره موجود است» یا… ولی واقعیت این است که آنچه را ما جهان می نامیم یکی از بیشمار جهان هایی است که وجود دارد و از درون و برون نامتناهی است.

منابع

مقاله علمی و آموزشی «منظور از بی نهایت چیست؟»، نتیجه ی تحقیق و پژوهش، گردآوری و نگارش هیئت تحریریه علمی پورتال یو سی (شما می توانید) می باشد. در این راستا مقاله مائده شهابی در مجله دانشمند، به عنوان منبع اصلی مورد استفاده قرار گرفته است.