خانه / آموزش / یادگیری آسان / مطالعه و حافظه / روش های ساده برای محاسبات ذهنی ریاضی
پذیرش آگهی

روش های ساده برای محاسبات ذهنی ریاضی

تکنیک های محاسبات ذهنی، تکنیک هایی هستند که شما را قادر می سازند محاسبات ریاضی را تنها با استفاده از توانایی های مغز انجام دهید. هر فردی که به تکنیک های محاسبات ذهنی مسلط شود، می تواند بخش عمده ای از محاسبات آزمون هایی مانند کنکور و همچنین حساب و کتاب های روزانه خود را به صورت ذهنی و بدون نیاز به ابزارهای کمکی مانند ماشین حساب انجام دهد.

شاید بهترین خبر در این لحظه، این باشد که همه امکان یادگیری این تکنیک ها را دارند. تنها تفاوت افرادی که می توانند محاسبات ریاضی را در ذهن و به سرعت انجام دهند با افرادی که چنین توانایی را ندارند، در پشتکار و تمرین کردن است.

در ادامه شما می توانید با برخی از روش های ساده برای محاسبات ذهنی ریاضی آشنا شوید.

ضرب اعداد در ۵ – ۵۰ – ۵۰۰ و…
یک روش ساده برای ضرب کردن هر عددی در ۵ این است که عدد مورد نظر را در ۱۰ ضرب نموده، سپس بر ۲ تقسیم کنیم.

مثال: عدد ۱۶۵ را در ۵ ضرب کنید.

۱۶۵ × ۵ => 165 × ۱۰ = ۱۶۵۰ ÷ ۲ = ۸۲۵

برای محاسبه ذهنی کافی است یک صفر سمت راست عددی که در ۵ ضرب می شود قرار دهیم و سپس آن را بر ۲ تقسیم کنیم. به این نکته توجه داشته باشید که برای ضرب هر عددی در ۵۰ باید آن را در ۱۰۰ ضرب کنیم سپس بر ۲ تقسیم نماییم؛ یا برای ضرب هر عددی در ۵۰۰ باید آن را در ۱۰۰۰ ضرب و سپس بر ۲ تقسیم کنیم.

مثال: عدد ۱۸۴ را در ۵۰۰۰ ضرب کنید.

خب برای حل این مثالِ به ظاهر سخت، کافی است ۱۸۴ را بر ۲ تقسیم کنیم که می شود: ۹۲؛ سپس ۴ تا صفر جلوی ۹۲ قرار دهیم؛ که به این ترتیب جواب ضرب ۱۸۴ در ۵۰۰۰ می شود: ۹۲۰۰۰۰.

۱۸۴ × ۵۰۰۰ => 184 ÷ ۲ = ۹۲ × ۱۰۰۰۰ = ۹۲۰۰۰۰

تقسیم اعداد بر ۵ – ۵۰ – ۵۰۰ و…
برای تقسیم هر عددی بر ۵ می توانیم آن عدد را در ۲ ضرب نموده و سپس بر ۱۰ تقسیم کنیم.

مثال: حاصل تقسیم ۱۴۰ بر ۵ را بیابید.

۱۴۰ ÷ ۵ => 140 × ۲ = ۲۸۰ ÷ ۱۰ = ۲۸

برای تقسیم هر عددی بر ۵۰، می توان آن عدد را در ۲ ضرب نمود و سپس بر ۱۰۰ تقسیم کرد. به همین شکل، تقسیم هر عددی بر ۵۰۰، ۵۰۰۰ و… نیز قابل محاسبه می باشد.

ضرب اعداد در ۲۵ – ۲۵۰ – ۲۵۰۰ و…
دو راه ساده برای ضرب کردن هر عددی در ۲۵ این است که:

۱) عدد مورد نظر را دو بار در ۵ ضرب کنیم.

مثال: حاصل ضرب ۲۷ در ۲۵ را بیابید.

۲۷ × ۲۵ => 27 × ۵ = ۱۳۵ × ۵ = ۶۷۵

۲) عدد مورد نظر را در ۱۰۰ ضرب نموده و سپس بر ۴ تقسیم کنیم. به عبارتی دیگر، برای ضرب هر عددی در ۲۵، کافی است دو صفر سمت راست آن عدد قرار دهیم، سپس آن را بر ۴ تقسیم نماییم.

مثال: حاصل ضرب ۱۴ در ۲۵ را بیابید.

۱۴ × ۲۵ => 1400 ÷ ۴ = ۳۵۰

به همین صورت اگر حاصل ضرب عددی در ۲۵۰ یا ۲۵۰۰ و… مورد نظر باشد، می توان آن عدد را در ۲۵ ضرب کرد و یک یا دو صفر و… به سمت راست عدد بدست آمده، اضافه نمود.

مثال: حاصل ضرب ۲۴۵ در ۲۵۰۰ را محاسبه کنید.

۲۴۵ × ۲۵۰۰ => (245 × ۲۵) × ۱۰۰ = (۲۴۵۰۰ ÷ ۴) × ۱۰۰ = ۶۱۲۵۰۰

یا

۲۴۵ × ۲۵۰۰ => ((245 × ۵) × ۵) × ۱۰۰ = (۱۲۲۵ × ۵) × ۱۰۰ = ۶۱۲۵۰۰

تقسیم اعداد بر ۲۵ – ۲۵۰ – ۲۵۰۰ و…
برای تقسیم هر عددی بر ۲۵، می توان آن را در ۴ ضرب نمود، سپس بر ۱۰۰ تقسیم کرد.

مثال: ۶۲۵ را بر ۲۵ تقسیم کنید.

۶۲۵ ÷ ۲۵ => 625 × ۴ = ۲۵۰۰ ÷ ۱۰۰ = ۲۵

برای تقسیم هر عددی بر ۲۵۰ یا ۲۵۰۰ و… کافی است آن عدد را در ۴ ضرب نموده و بر ۱۰۰۰ یا ۱۰۰۰۰ و… تقسیم کنیم.

مثال: حاصل تقسیم ۴۵۶۰ بر ۲۵۰۰ را محاسبه کنید.

۴۵۶۰ ÷ ۲۵۰۰ => 4560 × ۴ = ۱۸۲۴۰ ÷ ۱۰۰۰۰ = ۱.۸۲۴

ضرب عدد دو رقمی بین ۱۰ و ۲۰ در خودش
برای ضرب دو عدد دو رقمی که بین ۱۰ و ۲۰ قرار دارند، ابتدا باید به این نکته توجه داشت که نتیجه، عددی سه رقمی بین ۱۰۰ و ۴۰۰ می باشد. حالا برای پیدا کردن حاصل ضرب اعداد دو رقمی بین ۱۰ و ۲۰ در خودش به روش زیر عمل می کنیم:

۱) رقم یکان آن دو عدد را در هم ضرب می کنیم، اگر حاصل یک رقمی بود، آن را به عنوان اولین رقم سمت راست می نویسیم و اگر دو رقمی است، رقم یکان آن را نوشته، دهگان آن را در حافظه ی خود نگه می داریم.

۲) رقم یکان آنها را با هم جمع می کنیم و اگر دهگانی از قبل داشته باشیم به آن افزوده، به عنوان دومین رقم ثبت می نماییم. در اینجا هم اگر رقم بدست آمده، دهگانی داشته باشد، به حافظه می سپاریم.

۳) رقم دهگان آنها را در هم ضرب می کنیم و در صورتی که از قبل دهگانی در حافظه داشته باشیم با آن جمع نموده، به عنوان سومین رقم در کنار رقم های قبلی می نویسیم.

مثال: عدد ۱۳ را در خودش ضرب نمایید.

  1. حاصل ضرب (۳ × ۳) رقم یکان را تشکیل می دهد.
  2. حاصل جمع (۳ + ۳) رقم دهگان را تشکیل می دهد.
  3. حاصل ضرب (۱ × ۱) رقم صدگان را تشکیل می دهد.
  4. و نتیجه می شود:

۱۳ × ۱۳ = ۱۶۹

مثال: حاصل ضرب ۱۴ × ۱۴ را بدست آورید.

  1. حاصل ضرب (۴ × ۴) می شود ۱۶، ۶ را به عنوان رقم یکان نوشته، ۱ را در حافظه نگه می داریم.
  2. حاصل جمع (۴ + ۴) می شود ۸، آن را با عدد ۱ قبلی جمع می کنیم، حاصل عدد ۹، رقم دهگان را تشکیل می دهد.
  3. حاصل ضرب (۱ × ۱) برابر با ۱ خواهد بود که رقم صدگان را مشخص می نماید.
  4. و نتیجه می شود:

۱۴ × ۱۴ = ۱۹۶

مثال: ۱۹ × ۱۹ را محاسبه نمایید.

  1. حاصل ضرب (۹ × ۹) می شود ۸۱، ۱ را به عنوان رقم یکان نوشته، ۸ را در حافظه نگه می داریم.
  2. حاصل جمع (۹ + ۹) می شود ۱۸، بعلاوه ۸ قبلی می شود ۲۶؛ ۶ را به عنوان رقم دهگان نوشته و ۲ را در حافظه نگه می داریم.
  3. حاصل ضرب (۱ × ۱) برابر با ۱ خواهد بود که با ۲ قبلی جمع می شود و حاصل آن ۳، رقم صدگان را مشخص می نماید.
  4. و نتیجه می شود:

۱۹ × ۱۹ = ۳۶۱

ضرب اعداد دو رقمی مختوم به ۵ در خودشان
برای پیدا کردن حاصل ضرب این گونه اعداد باید به این نکته توجه نمود که نتیجه، عددی سه یا چهار رقمی است و دو رقم سمت راست حاصل ضرب این نوع اعداد، همیشه ۲۵ خواهد بود. به این ترتیب برای پیدا کردن حاصل ضرب به روش زیر عمل می کنیم:

به رقم دهگان یکی از اعداد، یک واحد اضافه می کنیم (a + 1) و سپس در رقم دهگان دیگری ضرب می نماییم. [a × (a + 1)] در نهایت حاصل ضرب را نوشته و یک عدد ۲۵ در سمت راست آن قرار می دهیم. به این شکل:

a5 × a5 = [a × (a + 1)] 25

مثال: حاصل ضرب ۳۵ × ۳۵ را محاسبه کنید.

  1. یک واحد به ۳ افزوده، در ۳ ضرب می کنیم. ۱۲ = ۳ × (۱ + ۳)
  2. حاصل ۱۲ می باشد. سپس ۲۵ را در سمت راست آن قرار می دهیم.
  3. جواب می شود: ۱۲۲۵

۳۵ × ۳۵ => (3 + 1)(3) = 12 => 1225

مثال: حاصل ضرب ۸۵ × ۸۵ را پیدا کنید.

۸۵ × ۸۵ => (8 + 1)(8) = 72 => 7225

ضرب دو عدد با استفاده از اتحاد مزدوج
در ضرب دو عدد، گاهی می توان از اتحاد مزدوج [a۲ – b۲ = (a – b)(a + b)] استفاده نمود و جواب را بدست آورد. زمانی که فاصله ی اضافی و نقصانی دو عدد نسبت به عدد مختوم به صفر مثل ۱۰۰ یا ۱۰۰۰ یا ۵۰ و… به یک اندازه باشد، می توان از این اتحاد استفاده نمود و پاسخ را محاسبه کرد.

مثال: حاصل ضرب ۹۹ × ۱۰۱ را پیدا کنید.

چون فاصله هر دو عدد نسبت به ۱۰۰ به یک اندازه می باشد، از اتحاد مزدوج استفاده می کنیم.

۱۰۱ × ۹۹ => (100 + 1)(100 – 1) = 10000 – 1 = 9999

مثال: حاصل ضرب ۱۰۰۳ × ۹۹۷ را محاسبه کنید.

۹۹۷ × ۱۰۰۳ => (1000 + 3)(1000 – 3) = 1000000 – 9 = 999991

مثال: حاصل ضرب ۱۰۰۰۵ × ۹۹۹۵ را محاسبه کنید.

۹۹۹۵ × ۱۰۰۰۵ => (10000 + 5)(10000 – 5) = 100000000 – 25 = 99999975

مثال: حاصل ضرب ۵۹ × ۶۱ را پیدا کنید.

۶۱ × ۵۹ => (60 + 1)(60 – 1) = 3600 – 1 = 3599

مجذور نمودن اعداد با استفاده از اتحاد اول و دوم
اتحاد اول و اتحاد دوم یادتان هست؟

اتحاد اول => (a + b)۲ = a۲ + b۲ + ۲ab

اتحاد دوم => (a – b)۲ = a۲ + b۲ – ۲ab

برای مجذور کردن اعدادی که نزدیک به اعداد مختوم به صفر باشند، می توان از این اتحادها استفاده نمود و به صورت ذهنی پاسخ را پیدا کرد. در این گونه موارد باید بتوان عدد مورد نظر را که قرار است مجذور شود، تبدیل به مجموع یا تفاضل دو عددی نمود که لااقل یکی مختوم به صفر باشد، سپس با استفاده از فرمول پاسخ را مشخص نمود. به مثال زیر توجه کنید.

مثال: عدد ۱۰۰۱ را به توان ۲ برسانید.

فرض می کنیم ۱۰۰۰ = a و ۱ = b باشد. بنابراین با استفاده از اتحاد اول می توان نوشت.

۱۰۰۱۲ => (۱۰۰۰ + ۱)۲ = ۱۰۰۰۰۰۰ + ۱ + ۲۰۰۰ = ۱۰۰۲۰۰۱

مثال: مجذور ۱۹۹۹ را بدست آورید.

فرض می کنیم ۲۰۰۰ = a و ۱ = b باشد؛ بنابراین با استفاده از اتحاد دوم، می توان نوشت.

۱۹۹۹۲ => (۲۰۰۰ – ۱)۲ = ۴۰۰۰۰۰۰ + ۱ – ۴۰۰۰ = ۳۹۹۶۰۰۱

تعیین باقیمانده ی تقسیم اعداد بر ۲ تا ۱۱
اگر بخواهیم ببینیم در عدد a چند عدد b وجود دارد، باید a را بر b تقسیم کنیم. در این شرایط، a را مقسوم و b را مقسوم علیه می نامند. از تقسیم این دو، عددی مانند q به نام خارج قسمت به دست می آید که نشانگر تعداد bهایی است که در a وجود دارد و همچنین ممکن است باقیمانده ای کوچکتر از مقسوم علیه داشته باشد که آن را با r نمایش می دهیم. این رابطه a = b × q + r وقتی درست است که r < b باشد. در صورتی که ۰ = r باشد، آنگاه می توان گفت که a بر b قابل تقسیم است، مثل ۷۶ که بر ۲ قابل تقسیم می باشد و باقیمانده آن صفر است. اما ۷۷ بر ۲ قابل قسمت (تقسیم) نمی باشد و باقیمانده ی آن مخالف صفر است.

قابلیت تقسیم بر ۲: عددی به ۲ قابل قسمت است که رقم یکان آن زوج یا صفر باشد. چنانچه آخرین رقم سمت راست یک عدد فرد باشد، نتیجه می گیریم که آن عدد بر ۲ قابل قسمت نیست و باقیمانده اش یک می باشد.

مثال: آیا ۴۲۱ بر ۲ قابل قسمت می باشد.

چون آخرین رقم سمت راست این عدد فرد است؛ بنابراین، بر ۲ قابل قسمت نیست و باقیمانده ی آن یک می باشد.

مثال: آیا ۷۱۸ بر ۲ قابل قسمت می باشد؟

چون آخرین رقم سمت راست آن زوج است، پس به ۲ قابل قسمت بوده و باقیمانده ی تقسیم ۷۱۸ بر ۲، صفر می باشد.

قابلیت تقسیم بر ۳: عددی بر ۳ قابل قسمت است که مجموع ارقامش بر ۳ قابل تقسیم باشد. در این صورت باقیمانده ی تقسیم آن عدد بر ۳، صفر می باشد. چنانچه عددی بر ۳ قابل قسمت نباشد، باقیمانده ی آن عدد بر ۳، یک یا دو می باشد. برای پیدا کردن باقیمانده ی عددی که به ۳ قابل قسمت نیست، باید از مجموع ارقام آن، مضرب های ۳ را کسر نمود.

مثال: آیا ۲۳۱ بر ۳ قابل قسمت می باشد؟

چون ۶ = ۱ + ۳ + ۲ است و عدد ۶ مضرب ۳ می باشد (۶ = ۲ × ۳)، پس این عدد به ۳ قابل قسمت است و باقیمانده ی آن صفر می باشد.

مثال: آیا ۳۲۲ بر ۳ قابل قسمت می باشد؟

چون ۷ = ۲ + ۲ + ۳، مضرب ۳ نیست پس عدد ۳۲۲ بر ۳ قابل قسمت نمی باشد. برای تعیین باقیمانده، کافی است نزدیکترین مضرب ۳ را از مجموع ارقام آن کم نماییم. ۱ = ۶ – ۷ یا ۷ را بر ۳ تقسیم کرد، تا باقیمانده ی یک بدست آید.

قابلیت تقسیم بر ۴: عددی به ۴ قابل قسمت است که دو رقم سمت راست آن صفر یا بر ۴ قابل قسمت باشد. چنانچه عددی بر ۴ قابل قسمت نباشد، باقیمانده ی تقسیم آن عدد بر ۴ عدد ۱، ۲ یا ۳ می باشد. برای یافتن باقیمانده عددی که به چهار قابل قسمت نباشد، باید نزدیکترین عدد مضرب ۴ را از آن عدد کم نمود تا باقیمانده ای کوچکتر از ۴ بدست آید.

مثال: آیا ۵۱۲۴ به ۴ قابل قسمت می باشد؟

چون ۲۴ به ۴ قابل قسمت است، پس ۵۱۲۴ به ۴ قابل قسمت می باشد و باقیمانده ی تقسیم آن بر ۴، صفر است.

مثال: آیا عدد ۷۲۴۳ به ۴ قابل قسمت می باشد؟

از آنجا که ۴۳ به ۴ قابل قسمت نیست بنابراین عدد ۷۲۴۳ به ۴ قابل قسمت نمی باشد. روشن است که باقیمانده ی تقسیم ۴۳ بر ۴ عددی بجز ۳ نمی باشد.

روش دیگر این است که رقم یکان را در ۲۰ و رقم دهگان را در ۲۱ ضرب نموده و حاصل آنها را با هم جمع می نماییم. اگر حاصل بزرگتر و یا مساوی ۴ باشد مضارب ۴ را از آن کم نموده تا مانده به کمتر از چهار برسد.

(۳ × ۲۰) + (۴ × ۲۱) = ۳ + ۸ = ۱۱

۱۱ – ۸ = ۳

قابلیت تقسیم بر ۵: عددی بر ۵ قابل قسمت است که رقم اول سمت راست آن صفر یا پنج باشد، در غیر این صورت، آن عدد بر ۵ قابل قسمت نیست. برای تعیین باقیمانده ی آن عدد بر ۵ کافی است به رقم اول سمت راست آن توجه کنیم. اگر این رقم از ۵ کوچکتر است، پس باقیمانده ی تقسیم آن عدد بر ۵، خود این عدد می باشد. ولی اگر این رقم بیشتر از ۵ باشد باید ۵ واحد از آن کم کرد تا باقیمانده ی تقسیم آن عدد بر ۵ مشخص گردد.

مثال: آیا عدد ۴۶۵ به ۵ قابل قسمت است؟

چون رقم اول سمت راست آن ۵ می باشد، پس این عدد به ۵ قابل قسمت است و باقیمانده ی تقسیم آن بر ۵، صفر می باشد.

مثال: آیا عدد ۷۵۳۸ به ۵ قابل قسمت است؟

از آنجا که رقم اول سمت راست آن صفر یا پنج نمی باشد، پس این عدد بر پنج قابل قسمت نیست و باقیمانده ی آن بر ۵ برابر با ۳ می باشد. زیرا ۳ = ۳۵ – ۳۸.

قابلیت تقسیم بر ۶: عددی بر ۶ قابل قسمت است که هم بر ۲ و هم بر ۳ قابل تقسیم باشد. در این صورت باقیمانده ی تقسیم آن عدد بر ۶، صفر می شود. اگر عددی بر ۶ قابل قسمت نباشد، باقیمانده ی تقسیم آن بر ۶، عددی کوچکتر از ۶ می باشد. برای پیدا کردن باقیمانده کافی است نزدیکترین مضرب ۶ را از آن عدد کم نمود تا باقیمانده بدست آید.

مثال: آیا عدد ۷۶۷۱ بر ۶ قابل قسمت است؟

با توجه به اینکه این عدد، زوج نیست پس بر ۲ قابل قسمت نمی باشد. در نتیجه بر ۶ نیز قابل قسمت نخواهد بود. برای پیدا کردن باقیمانده کافی است عدد ۷۶۶۸ را که نزدیکترین مضرب ۶ به این عدد است را از آن کم کنیم. ۳ = ۷۶۶۸ – ۷۶۷۱

مثال: آیا عدد ۴۳۲ بر ۶ قابل قسمت است؟

از آنجا که این عدد زوج است، پس بر ۲ قابل قسمت می باشد. از طرفی مجموع ارقامش (۹ = ۲ + ۳ + ۴) ۹ می باشد که بر ۳ قابل قسمت است. در نتیجه این عدد بر ۶ قابل قسمت بوده و باقیمانده ی آن صفر است.

قابلیت تقسیم بر ۷: عددی بر ۷ قابل قسمت است که باقیمانده ی آن بر ۷، صفر باشد. برای اینکه باقیمانده ی تقسیم عدد a بر ۷ را بدست آوریم، به شرح زیر عمل می کنیم:

اولین رقم سمت چپ عدد مورد نظر را سه برابر کرده، با رقم بعدی جمع می نماییم. سپس مضرب های ۷ آن را کسر نموده، باقیمانده را سه برابر کرده و با رقم بعدی جمع می کنیم. پس از کسر مضارب هفت از آن، مجدداً به همین روش ادامه می دهیم تا باقیمانده ی نهایی حاصل شود.

مثال: باقیمانده ی تقسیم عدد ۵۴۷۲ بر ۷ را پیدا کنید.

رقم ۵ را سه برابر نموده، با ۴ جمع می کنیم.

۵ × ۳ = ۱۵

۱۵ + ۴ = ۱۹

مضرب ۷ یعنی ۱۴ را از آن کم می کنیم؛ باقیمانده ۵ می شود.

۱۹ – ۱۴ = ۵

۵ را سه برابر نموده، با ۷ جمع می کنیم.

۵ × ۳ = ۱۵

۱۵ + ۷ = ۲۲

مضرب هفت یعنی ۲۱ را از آن کسر می نماییم.

۲۲ – ۲۱ = ۱

نتیجه یعنی ۱ را سه برابر نموده و با ۲ جمع می کنیم.

۱ × ۳ = ۳

۳ + ۲ = ۵

عدد ۵ حاصل می شود که باقیمانده تقسیم عدد ۵۴۷۲ بر ۷ می باشد.

مثال: آیا عدد ۱۸۱۳ به ۷ قابل قسمت می باشد؟

۱ × ۳ = ۳

۳ + ۸ = ۱۱

۱۱ – ۷ = ۴

۴ × ۳ = ۱۲

۱۲ + ۱ = ۱۳

۱۳ – ۷ = ۶

۶ × ۳ = ۱۸

۱۸ + ۳ = ۲۱

۲۱ – ۲۱ = ۰

نتیجه صفر می شود؛ پس عدد ۱۸۱۳ بر ۷ قابل قسمت است و باقیمانده آن بر ۷، صفر می باشد.

قابلیت تقسیم بر ۸: عددی بر ۸ قابل قسمت است که عدد متشکل از سه رقم اول سمت راست آن، به هشت قابل قسمت باشد، و یا سه رقم سمت راست آن صفر باشد.

برای پیدا کردن باقیمانده ی تقسیم عدد a، بر ۸ کافی است باقیمانده ی سه رقم اول سمت راست عدد را بر ۸ حساب کنیم. یعنی رقم یکان را در ۲۰، رقم دهگان را در ۲۱ و رقم صدگان را در ۲۲ ضرب نموده و حاصل آنها را با هم جمع می کنیم، در صورتی که حاصل بزرگتر یا مساوی ۸ باشد، مضارب ۸ را از آن کم نموده تا مانده به کمتر از ۸ برسد.

مثال: آیا عدد ۱۸۴۸ به ۸ قابل قسمت است؟

از آنجا که ۸۴۸ به ۸ قابل قسمت است، پس ۱۸۴۸ نیز به ۸ قابل قسمت می باشد. برای پیدا کردن باقیمانده ی ۸۴۸ به ۸، اولین رقم سمت چپ را با ۸ مقایسه می کنیم تا در صورتی که بزرگتر یا مساوی ۸ باشد، ۸ را از آن کسر نماییم، سپس باقیمانده را با رقم بعدی یعنی ۴ کنار هم قرار داده، مجدداً مضرب ۸ را از آن کم می کنیم و بالاخره باقیمانده را با آخرین رقم یعنی ۸ کنار هم قرار می دهیم و مضرب ۸ را از آن کم می کنیم. رقم باقیمانده، تقسیم آن عدد بر ۸ را مشخص می کند.

مثال: آیا عدد ۵۴۷۳۰۰۰ به ۸ قابل قسمت است؟

چون سه رقم راست آن صفر است، پس به ۸ قابل قسمت بوده و باقیمانده ی تقسیم ۵۴۷۳۰۰۰ بر ۸، برابر با صفر می باشد.

مثال: آیا عدد ۷۴۵۵ به ۸ قابل قسمت می باشد؟

چون ۴۵۵ عدد فرد است به ۸ قابل قسمت نیست، پس ۷۴۵۵ نیز به ۸ قابل قسمت نمی باشد. اما برای یافتن باقیمانده که عددی بزرگتر از صفر و کمتر از ۸ می باشد، لازم است نزدیکترین عدد سه رقی مضرب ۸ به ۴۵۵ را پیدا نمود و از ۴۵۵ کم کرد که آن عدد ۴۴۸ است.

۴۵۵ – ۴۴۸ = ۷

بنابراین باقیمانده ی تقسیم عدد ۷۴۵۵ بر ۸، برابر با ۷ می باشد.

روش دیگر محاسبه باقیمانده این است که رقم یکان را در ۲۰، رقم دهگان را در ۲۱ و رقم صدگان را در ۲۲ ضرب نموده و حاصل آنها را با هم جمع کنیم.

(۵ × ۲۰) + (۵ × ۲۱) + (۴ × ۲۲) = ۵ + ۱۰ + ۱۶ = ۳۱

چون رقم ۳۱ بزرگتر از ۸ می باشد ۲۴ (نزدیکترین مضرب ۸ به ۳۱) را از آن کم می کنیم.

۳۱ – ۲۴ = ۷

مجدد مشاهده می کنید که باقیمانده تقسیم عدد ۷۴۵۵ بر ۸ برابر با ۷ می باشد.

قابلیت تقسیم بر ۹: عددی به ۹ قابل قسمت است که مجموع ارقامش به ۹ قابل قسمت باشد. بدیهی است اگر از مجموع ارقامش نزدیکترین مضرب ۹ را کسر کنیم و باقیمانده، عددی کوچکتر از ۹ شود، این عدد، باقیمانده ی تقسیم بر ۹ می باشد.

مثال: آیا ۲۹۳۴ به ۹ قابل قسمت است؟

مجموع ارقام آن عدد را محاسبه می نماییم:

۲ + ۹ + ۳ + ۴ = ۱۸

چون ۱۸ مضرب ۹ می باشد، پس ۲۹۳۴ به ۹ قابل قسمت است.

مثال: آیا ۵۳۷۶ به ۹ قابل قسمت است؟

مجموع ارقام آن عدد را محاسبه می نماییم:

۵ + ۳ + ۷ + ۶ = ۲۱

نزدیکترین مضرب ۹ را از آن کم می نماییم.

۲۱ – ۱۸ = ۳

پس این عدد به ۹ قابل قسمت نمی باشد و باقیمانده ی تقسیم آن عدد بر ۹ برابر با ۳ می باشد.

قابلیت تقسیم بر ۱۰: عددی به ۱۰ قابل قسمت است که اولین رقم سمت راست آن صفر باشد. بدیهی است اگر رقم سمت راست آن، رقمی غیر از صفر باشد، همان رقم باقیمانده ی تقسیم آن عدد بر ۱۰ می باشد.

مثال: آیا ۲۶۵۴ بر ۱۰ قابل قسمت می باشد؟

چون اولین رقم سمت راست آن صفر نیست، پس این عدد بر ۱۰ قابل قسمت نمی باشد و باقیمانده ی تقسیم آن بر ۱۰، ۴ می باشد. زیرا اولین رقم سمت راست آن ۴ است.

مثال: آیا ۵۶۷۰ بر ۱۰ قابل قسمت می باشد؟

چون رقم اول سمت راست آن عدد صفر است، پس بر ۱۰ قابل قسمت می باشد و باقیمانده ی آن صفر خواهد بود.

قابلیت تقسیم بر ۱۱: فرض کنیم عدد صحیح A شامل n رقم باشد. مکان ارقام A را از راست به چپ به ترتیب زوج و فرد در نظر می گیریم و سپس ارقام در مکان های زوج را با هم جمع کرده، منهای مجموع ارقام مکان های فرد می کنیم، اگر باقیمانده صفر باشد، عدد بر ۱۱ قابل قسمت است. ولی اگر باقیمانده مثبت و کمتر از ۱۱ بود، همان عدد باقیمانده ی تقسیم عدد A بر ۱۱ می باشد. حالا اگر باقیمانده منفی و یا مثبت و بزرگتر از ۱۱ بود، آنگاه باید مضرب ۱۱ را به آن اضافه یا کم نمود تا باقیمانده ی واقعی که کوچکتر از ۱۱ می باشد، بدست آید.

مثال: بررسی کنید که عدد ۲۷۴۹۳ بر ۱۱ بخش پذیر می باشد یا خیر؟

ارقام در مکان های زوج را با هم و ارقام در مکان های فرد را نیز با هم جمع می نماییم. تفاوت آنها ۷- می باشد. با اضافه کردن ۱۱ به آن، نتیجه ۴ می شود.

(۳ + ۴ + ۲) – (۹ + ۷) = ۹ – ۱۶ = -۷

-۷ + ۱۱ = ۴

پس این عدد بر ۱۱ قابل قسمت نیست و باقیمانده ی تقسیم آن بر ۱۱، ۴ می باشد.

مثال: آیا ۱۱۹۳۵ بر ۱۱ قابل قسمت می باشد؟

(۵ + ۹ + ۱) – (۳ + ۱) = ۱۵ – ۴ = ۱۱

چون ۱۱ مضرب ۱۱ می باشد، پس ۱۱۹۳۵ به ۱۱ قابل قسمت است و باقیمانده ی این تقسیم، صفر می باشد.

ساده کردن کسر
اگر صورت و مخرج کسری، دارای عامل مشترکی مخالف صفر و غیر از یک باشند، می توانیم آنها را بر آن عامل مشترک تقسیم کنیم. به عبارت دیگر، برای ساده کردن کسر باید صورت و مخرج آن را جداگانه به عوامل ضرب تجزیه نموده، سپس در صورت اشتراک عوامل ضرب مخالف صفر بین صورت و مخرج، آنها را حذف کرد.

بدیهی است چنانچه هیچ عامل مشترکی بین صورت و مخرج به جزء ۱ نباشد، نتیجه می گیریم که این کسر ساده نمی شود. به این نوع کسرها، کسر تحویل ناپذیر گویند.

مثال: کسر \frac{21}{22} را ساده کنید.

\frac{21}{22} = \frac{3 \times 7}{2 \times 11}

چون در صورت و مخرج کسر هیچ عامل مشترکی دیده نمی شود این کسر تحویل ناپذیر است و ساده نمی شود.

مثال: کسر \frac{150}{21} را ساده کنید.

\frac{150}{21} = \frac{2 \times 3 \times 5 \times 5}{3 \times 7}

تنها عامل مشترک بین صورت و مخرج ۳ می باشد، پس از حذف عدد ۳ از صورت و مخرج، جواب می شود: \frac{150}{21} = \frac{50}{7}

مثال: کسر \frac{210}{315} را ساده کنید.

\frac{210}{315} = \frac{2 \times 3 \times 5 \times 7}{3 \times 5 \times 7 \times 3 } = \frac{2}{3}

عوامل مشترک ۳، ۵، ۷ بین صورت و مخرج قابل حذف کردن می باشند. بنابراین با حذف آنها کسر \frac{2}{3} حاصل می گردد.

یادگیری تکنیک های محاسبات ذهنی ریاضی می توانند موجب افزایش قدرت ذهن، تخیل و خلاقیت، افزایش اعتماد به نفس، توسعه و بهبود عملکرد همزمان دو نیمکره مغز، مدیریت زمان و تمرکز بهتر شوند. بنابراین با پشتکار و تمرین های پیوسته، سختی ها را پشت سر بگذارید.

برای مشاهده منابع اینجا کلیک کنید.

برای مشاهده منابع اینجا کلیک کنید.

مقاله علمی و آموزشی «روش های ساده برای محاسبات ذهنی ریاضی»، نتیجه ی تحقیق و پژوهش، گردآوری و نگارش هیئت تحریریه پورتال یو سی (شما می توانید) می باشد. در این راستا کتاب ریاضیات امور مالی، نوشته ی رحیم افتخار از شرکت چاپ و نشر کتاب های درسی ایران، منتشر شده در ۱۳۸۴ به عنوان منبع اصلی مورد استفاده قرار گرفته است.

با دوستان خود به اشتراک بگذارید:
Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someonePrint this page
فروشگاه شارژ، محصولات مجازی و خدمات بر خط های یو

دیدگاه خود را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نمی شود. بخش های الزامی با * مشخص شده اند. *

*